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Fecha27-06-2008

Por qué menos por menos es más

Es una pregunta que cualquier persona se puede hacer a lo largo de su estudio de las matemáticas. Todos tienden a pensar que un número negativo multiplicado por otro negativo debería dar un super-negativo o algo por el estilo. Pero voy a intentar aclarar por qué esto no es así.
En la recta numérica, los números negativos son todos los que están a la izquierda del cero, correcto?
Para contar los números naturales (1, 2, 3, …) empezamos en el cero, y luego avanzamos hacia la derecha:

Para los negativos, hacemos lo contrario, vamos hacia la izquierda (porque quedan al otro lado del cero):

Podríamos decir que hacemos lo mismo que con los positivos, solo que cambiamos de dirección.
Entonces, si tenemos un número que cambia de dirección, y lo multiplicamos por otro que cambia de dirección, cambiamos de dirección dos veces!
Para verlo más claramente, podemos pensar a los números negativos como un número positivo multiplicado por -1. En multiplicación, el factor 1 no afecta en absoluto el resultado, pero sí lo afecta en su signo.

2 * -1 = -2

Entonces, para terminar, un ejemplo:

-2 * -2 = 4
(-1) * 2  *  (-1) * 2 = 4

El orden de los factores no va a alterar el producto, y podemos resolver parcialmente la cuenta:

-(-1) * (-1) * 4 = 4

El primer -1 cambia el signo: vamos hacia la izquierda en la recta numérica. Pero el segundo -1 vuelve a cambiar el signo, y como íbamos hacia la izquierda, volvemos hacia la derecha.
Generalizando,

-X * -X = +X

Una alternativa más amigable y menos matemática propuesta por mi amigo Martín, es pensar los menos como enemigos, y los más como amigos. Entonces, decimos que un amigo de un amigo es amigo (más por más es más), que un enemigo de un amigo es enemigo (menos por más es menos), y que un enemigo de un enemigo es amigo (menos por menos es más).
Espero que les haya sido útil!

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    Comentarios18 comentarios »

    1. Mai Firefox 2.0.0.14Windows XP

      sabes que.. a mi tambien me gusto en un principio el razonamiento de martin.. tenemos sentimientos.. la matématica no es tan gélida. podríamos pensar que luego de mi teoria de la humanidad las matematicas van a ser mas cálidas…o más gélidas (la gente es gélida) pero menos por menos es más asi que deberian ser mas cálidas…

      maai

    2. Zim Firefox 3.0Windows XP

      Me perdí un poco, pero entendí el punto, jajajaja =)

    3. Puliis. Internet Explorer 6.0Windows XP

      Me gusto la teoría de Martin .
      Nunca lo había pensado de esa forma , jajja .

    4. Zim Firefox 3.0Windows XP

      Yo tampoco, si se me hubiera ocurrido antes no hacía toda esa explicación… jajajaja

    5. Vorguees Safari 3.0.4Mac OS X

      Coff! *nerd*

      Coff *nerd*

      Coff! COFF *nerd*!

      jajajaja

    6. Zim Firefox 3.0Windows XP

      Sí, pero probablemente alguna vez le sea de utilidad a alguien.

    7. tefi Internet Explorer 6.0Windows XP

      grazzzzzzzzzz

    8. el pela Internet Explorer 7.0Windows XP

      gracias me gusto lateoria aarte me va a servir graxxx

    9. fon Firefox 3.0.11Windows XP

      el que dijo nerd es un ignorante, está buenísima la explicación

    10. FRANK Internet Explorer 7.0Windows Vista

      TENIA LA CURIOSIDAD DEL POR Q .. PERO QUEDO TODO CLARO GRACIAS .

      PD:

      PREFIERO SER UN NERD QUE UN TRISTE Y POBRE INGNORANTE Y FALTA DE CEREBRO ..

      DEBES DE SER UN LOSER ….

    11. Alvaro Google Chrome 2.0.172.39Windows XP

      6×6=36=6+6+6+6+6+6
      (-6)x(-6)=(-6)-(-6)-(-6)-(-6)-(-6)-(-6)
      entonces cuando resolvemos volvemos a la misma pregunta porque entonces -(-6) me da +6????
      entonces yo razone: porque no te saco menos seis, o sino: porque te saco menos seis es decir te los doy :D, porque te saco y lo que me saco y te doy jaja me parece q lo que mas se entiende es te saco menos seis entonces te los doy… es que lo entiendo pero es dificil de expliccar

    12. antonio Internet Explorer 7.0Windows XP

      sas quien lo haya escrito me sirvio mucho e gracias

    13. nukem Internet Explorer 7.0Windows Vista

      gracias amigo me sacaste de la insertidumbre

    14. paco Safari 413SymbianOS 9.4

      La teoría del cambio del sentido pierde sentido cuando se aplica en la recta de los números, es decir, si tengo (-2) quiere decir que voy a la izquierda dos puntos, y si le sumo otros (-2) cambio de dirección y subo dos puntos a la derecha, entonces daría como resultado (0) y no 4, habra que seguir investigando, de todas formas esta bien el artículo.

    15. jesus jimenez Google Chrome 7.0.517.44Windows XP

      me gusto la explicasion y entendi esto que era lo que me atormentaba en las noches

    16. vanessa Internet Explorer 9.0;Windows 7

      me gusto muxo tu explicacion

    17. Zim Google Chrome 28.0.1500.3Windows 7

      @Paco: Para hacer la cuenta en la recta numérica deberías primero multiplicar y luego ver para dónde va el signo (es decir, si queda positivo o negativo).

    18. RTR Firefox 33.0Windows 7 x64 Edition

      Explicación extendida del método gráfico…

      El método grafico es muy simple, lo único que tenemos que tener en consideración es que los signos guían el sentido de la recta, por ejemplo, el sentido natural de los números es positivo, de hecho la recta misma se lee de izquierda a derecha siempre en relación al lado +, esto significa que si no existe cambio alguno los números tenderán al orden común. Si por el contrario los números se alteran entonces su sentido cambia, son los números negativos.

      Ahora para comprender el método es indispensable que consideremos lo siguiente:

      El signo + significa estabilidad, es decir, que el sentido numérico no cambia.
      El signo – significa cambio, es decir, que el sentido numérico se alterara cada vez que se aplique un signo negativo a la operación.
      El 0 representa el origen, y siempre desde ahí se realizará cualquier conteo.

      Bien dicho esto se postula lo siguiente:

      Para aplicar ley de los signos es necesario hablar de multiplicación o división, para fines prácticos utilizaremos la multiplicación.

      Siempre en la multiplicación existen dos elementos, un multiplicando y un multiplicador.

      Esto es, en una expresión 5 x 3, el multiplicando es el valor que sirve como base (5), mientras que el multiplicador es el número de veces que se suma el multiplicando (3).

      Dicho esto procederemos con la explicación del método gráfico.

      Ejemplo 1: En la expresión (+3) (+2), si nosotros moviéramos el número del cero 3 posiciones en el lado positivo solo para mostrar la cantidad de lugares que se desplaza el primer valor y luego al volver al cero efectuáramos dicho movimiento a partir del origen, repitiéndolo el número de veces que nos indique el segundo valor en el sentido que en conjunto manejan los números, esto es, el + del primer elemento indica que el sentido es natural, ósea la dirección de la operación se hace del lado de los positivos, mientras que el + del segundo elemento nos indica que no habrá cambio alguno, que la operación se efectuará del mismo lado.

      Esto se explica de la siguiente forma, si nos moviéramos 3 veces del lado positivo, regresáramos al cero y repitiéramos el movimiento dos veces en el mismo sentido, al finalizar terminaríamos en el valor +6, con lo cual el resultado de la operación sería correcto.

      Ejemplo 2: En la expresión (-4) (+2), sería el equivalente a mover el 4 en el sentido de los números negativos, luego regreso al cero y como el signo del segundo término es positivo significa que no hay cambio de sentido y que el movimiento debo efectuarlo del mismo lado que hice el movimiento original. Si lo repito dos veces, terminaría en el valor -8, con lo cual el resultado de la operación es correcto.

      Ejemplo 3: En la expresión (+2) (-3), nos posicionamos en el cero, nos desplazamos 2 veces en el sentido positivo de la recta, luego regresamos al cero y de ahí repetimos 3 veces lo anterior pero en sentido contrario según nos indica el signo del segundo término. Con lo cual terminaríamos en el valor -6.

      Ejemplo 4: En la expresión (-5) (-1), arrancando de cero, nos desplazamos 5 lugares en sentido de los negativos, luego regresamos al cero y de ahí nos movemos una sola vez de igual forma que en la primera iteración, pero, en sentido contrario a la operación original, con lo cual terminamos en el número 5.

      En resumen, + significa no alteracion, o naturalidad, – significa alteracion, cambio o antinatural.

      Un saludo.

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